$x(k + n) = f(k, x(k + n − 1), \cdots , x(k))$
où:
L’équation admet une et une solution une fois fixées $n$ valeurs initiales.
N.B Notons qu’aucune autre restriction sur la forme de $f$ est posée.
$a_n(k) x(k + n) + a_{n-1}(k) x(k + n - 1) + \cdots + a_0(k) x(k) = g(k)$
Si
alors toutes les solutions de l'équation non homogène peuvent être exprimés sous forme:
$x(k) = x^{(p)}(k) + x^{(h)}(k)$
$a_n(k) x(k + n) + a_{n-1}(k) x(k + n - 1) + \cdots + a_0(k) x(k) = g(k)$
Soient $x^{(1)}(k),\cdots,x^{(m)}(k)$ $m$ solutions de l'équation homogène
alors $x(k) = \sum_{i}^{m} c_i x^{(i)}(k)$ est aussi un solution de l'équation homogène.
$x(k + n) + a_{n-1} x(k + n - 1) + \cdots + a_0 x(k) = b$
$P(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 $
$x(k + n) + a_{n-1} x(k + n - 1) + \cdots + a_0 x(k) = b$
$P(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0 $
Calculer les solutions des equations:
c = [1 -4 5 -2];
roots(c)
ans = 2.00000 + 0.00000i 1.00000 + 0.00000i 1.00000 - 0.00000i
$\lambda_1 = 2$ $\Rightarrow$ $x^{(1)}(k) = 2^k$
$\lambda_{2,3} = 1$ $\Rightarrow$ $x^{(2)}(k) = 1^k$ $x^{(3)}(k) = k 1^k$
$x(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k)+ c_3 x^{(3)}(k) = c_1 2^k + c_2 + c_3 k$
$\begin{cases} x(0) &= 0 = c_1 2^0 + c_2 \\ x(1) &= 1 = c_1 2^1 + c_2 + c_3 \\ x(2) &= 0 = c_1 2^2 + c_2 + 2c_3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_1 + c_2 &= 0 \\ 2 c_1 + c_2 + c_3 &= 1 \\ 4 c_1 + c_2 + 2c_3 &= 0 \\ \end{cases} $
C = [1 1 0; 2 1 1; 4 1 2];
x_0 = [0; 1; 0];
C \ x_0
ans = -2 2 3
$x(k) = c_1 2^k + c_2 + c_3 k = -2 \cdot 2^k + 2 + 3k$
c = [1 -1 -1];
roots(c)
ans = -0.61803 1.61803
$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$ $x^{(1)}(k) = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k$ $\lambda_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow$ $x^{(2)}(k) = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k$
$x(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k) = c_1 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k + c_2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k $
$\begin{cases} x(0) &= 0 = c_1 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^0 + c_2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^0 \\ x(1) &= 1 = c_1 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^1 + c_2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^1 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_1 + c_2 &= 0 \\ \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) c_1 + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) c_2 &= 1 \\ \end{cases} $
C = [1 1; (1-sqrt(5))/2 (1+sqrt(5))/2];
x_0 = [0; 1];
C \ x_0
ans = -0.44721 0.44721
$ x(k) = c_1 \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^k + c_2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k = -\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k $
c = [1 0 1];
roots(c)
ans = -0 + 1i 0 - 1i
$\lambda_i=a \pm ib \in \mathbb{C}$ avec multiplicité 1 $\Rightarrow$ $w^{(i)}(k) = \rho^k \cos(\vartheta k)$, $z^{(i)}(k) = \rho^k \cos(\vartheta k)$
$ \begin{cases} a&=0 \\ b&=1 \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \rho &=\sqrt{a^2+b^2}=1 \\ \theta &=\tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) = \frac{\pi}{2} \\ \end{cases}$
$w^{(1)}(k) = \rho^k \cos(\vartheta k) = 1^k \cos \left(\frac{\pi}{2} k \right) $
$z^{(1)}(k) = \rho^k \sin(\vartheta k) = 1^k \sin \left(\frac{\pi}{2} k \right) $
$x(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k) = c_1 \cos \left(\frac{\pi}{2} k \right) + c_2 \sin \left(\frac{\pi}{2} k \right) $
$\begin{cases} x(0) &= 0 = c_1 \cos \left(\frac{\pi}{2} 0 \right) + c_2 \sin \left(\frac{\pi}{2} 0 \right) \\ x(1) &= 1 = c_1 \cos \left(\frac{\pi}{2} 1 \right) + c_2 \sin \left(\frac{\pi}{2} 1 \right) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_2 &= 0 \\ c_1 &= 1 \\ \end{cases} $
$x(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k) = \cos \left(\frac{\pi}{2} k \right)$
$a_n x(k + n) + a_{n-1} x(k + n - 1) + \cdots + a_0 x(k) = b$
Un équilibre est un nombre $\bar{x}$ auquel il correspond une solution constante $x(k)=\bar{x}$
Si $\sum_{i=0}^{n} a_i \neq 0$ alors $\bar{x} = \frac{b}{\sum_{i=0}^{n} a_i}$
Si $\sum_{i=0}^{n} a_i = 0$ alors:
$b=0$ $\Rightarrow$ Chaque $\bar{x}$ est un point d'équilibre
Stable : $\forall \varepsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ et un $k_0$ telles que $\sum_{j=0}^{n-1} \vert x(j) - \bar{x} \vert < \delta \Rightarrow \vert x(k) - \bar{x} \vert < \varepsilon$ $\forall k > k_0$ Autrement dit, des états initiaux proches de l'équilibre donnent origine à des trajectoires proches de l'équilibre.
Asymptotiquement stable : Si pour chaque $n$-tuple $\{x(0),\cdots,x(n-1)\}$ la solution correspondante satifait $\lim_{k \rightarrow \infty} x(k) = \bar{x}$
Un équilibre $\bar{x}$ de l'équation linéaire est:
Stable: $\forall \lambda_i, i=1,\cdots, n$ soit $\vert \lambda_i \vert \leq 1$ soit $\vert \lambda_i \vert = 1$ avec multiplicité égale à 1.
Asymptotiquement stable: $\forall \lambda_i, i=1,\cdots, n$ soit $\vert \lambda_i \vert < 1$
N.B Tout équilibre asymptotiquement stable est aussi stable.
Calculer l'équilibre et analyser la stabilité pour les systèmes suivantes:
c = [6 -5 1];
b = 2;
x_eq = b / sum(c)
roots(c)
x_eq = 1 ans = 0.50000 0.33333
$\lambda_1 = \frac{1}{3}$ et $\lambda_2 = \frac{1}{1}$
$ \vert \lambda_1 \vert < 1 \wedge \vert \lambda_2 \vert < 1$ $\Rightarrow$ Equilibre asymptotiquement stable.
c = [1 -2 2];
b = 0;
x_eq = b / sum(c)
roots(c)
x_eq = 0 ans = 1.00000 + 1.00000i 1.00000 - 1.00000i
$\lambda_1 = 1+i$ et $\lambda_2 = 1+i$
$ \vert \lambda_1 \vert = \vert \lambda_2 \vert = \sqrt{\Re(\lambda_1)^2 + \Im(\lambda_1)^2} = \sqrt{2}$
$ \vert \lambda_1 \vert > 1 \wedge \vert \lambda_2 \vert > 1$ $\Rightarrow$ Equilibre instable.
c = [1 0 0 1];
b = 0;
x_eq = b / sum(c)
roots(c)
x_eq = 0 ans = -1.00000 + 0.00000i 0.50000 + 0.86603i 0.50000 - 0.86603i
$\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\lambda_2 = \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$
$ \vert \lambda_1 \vert = 1$
$ \vert \lambda_2 \vert = \vert \lambda_3 \vert = \sqrt{\Re(\lambda_1)^2 + \Im(\lambda_1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$
$ \vert \lambda_1 \vert = 1 \wedge \vert \lambda_2 \vert = 1 \wedge \vert \lambda_3 \vert = 1$ $\Rightarrow$ Equilibre stable mais pas asymptotiquement stable
Calculer les solutions des équations suivantes:
c = [1 -4 3]
roots(c)
c = 1 -4 3 ans = 3 1
$\lambda_1 = 1$ $\Rightarrow$ $x^{(1)}(k) = 1^k$
$\lambda_2 = 3$ $\Rightarrow$ $x^{(2)}(k) = 3^k$
$x^{(h)}(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k) = c_1 + c_2 3^k $
$x^{(p)}(k) = c 2^k$ vu le $2^k$ à droite de l'égalité
$x^{(p)}(k) = c 2^k$ et $x(k+2)-4x(k+1)+3x(k)=2^k$ $\Rightarrow$ $c2^{k+2}-4c2^{k+1}+3c2^k=2^k$
$c2^{k+2}-4c2^{k+1}+3c2^k=2^k$ $\Rightarrow$ $4c-8c+3c=1$ $\Rightarrow$ $c=-1$
$x^{(p)}(k) = -2^k$
$x(k) = x^{(h)}(k) + x^{(p)}(k) = c_1 + c_2 3^k - 2^k$
c = [1 -4 3]
roots(c)
c = 1 -4 3 ans = 3 1
$\lambda_1 = 1$ $\Rightarrow$ $x^{(1)}(k) = 1^k$
$\lambda_2 = 3$ $\Rightarrow$ $x^{(2)}(k) = 3^k$
$x^{(h)}(k) = c_1 x^{(1)}(k) + c_2 x^{(2)}(k) = c_1 + c_2 3^k $
$x^{(p)}(k) = c b^k$ vu le $b^k$ à droite de l'égalité
$x^{(p)}(k) = c b^k$ et $x(k+2)-4x(k+1)+3x(k)=b^k$ $\Rightarrow$ $cb^{k+2}-4cb^{k+1}+3cb^k=b^k$
$cb^{k+2}-4cb^{k+1}+3cb^k=b^k$ $\Rightarrow$ $cb^2-4bc+3c=1$ $\Rightarrow$ $c=\frac{1}{b^2-4b+3}$
$x^{(p)}(k) = \frac{b^k}{b^2-4b+3}$
$x(k) = x^{(h)}(k) + x^{(p)}(k) = c_1 + c_2 3^k + \frac{b^k}{b^2-4b+3}$